Diferansiyel denklemler nedir? videolu konu anlatımı

FaceBook Paylaş
Sponsorlu Bağlantılar

Matematik, Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında kullanılan Diferansiyel denklemler nedir?

 

Bilinmeyen fonksiyon ile onun türevleri arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir.

Newton, Leibniz, Bernoulli, Riccati, Clairaut, d’Alembert ve Euler gibi ünlü matematikçiler diferansiyel denklemler üzerinde çalışmalar yapmıştır.

Diferansiyel denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin parçalanması problemleri vb. gösterilebilir.

Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir. Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. mertebeden, II. mertebeden, . . . türevler kastediliyorlar.

Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir.

Örnek vermek gerekirse;

denklemleri I. mertebeden

diferansiyel örnek 2

denklemleri ise II. mertebeden denklemlerdir.

Dikkat!; Yukarıdaki denklemlerde y, y’, y” fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır. Genellikle, denklem yazılımında y, y’, y”, . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor. Örneğin, y’(x) – y(x) = 0 yerine kısaca y’ – y = 0 yazılır.

Matematik modeli diferansiyel örneği;

  • Düzlemde bir y = y(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki her (x, y(x)) noktasında teğetin eğiminin x . y(x) olduğunu varsayalım. Türev konusundan bildiğimiz gibi, (x, y(x)) noktasındaki teğetin eğimi y’(x) olduğundan

y’(x) = x y(x)

yazılabilir. Buna göre, bu eğrinin diferansiyel denklemi; y’ = xy olur.

  • Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y’(x) türevidir. Deneyler sonucuna göre,

y’(x) = k . y(x)

yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y’(x) türevinin negatif olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi y’ – ky = 0 dır.

  • Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda) soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki sıcaklığı ile ortamın sıcaklığı farkı ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise

y’(x) = k (y(x) – 30)

yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi y’ = k(y – 30) dır.

  • Esnek bir yaya asılmış m kütleli ağır bir cismin serbest salınımını ele alalım.Eğer x anında denge durumundan olan uzaklık y(x) ise o zaman Newton’unII. kanununa göre (bazı varsayımlar koşuluyla)

my”(x) + k y(x) = 0

eşitliği yazılabilir. Burada k sabiti yayın esneklik sabitidir. Buna göre serbest salınımın diferansiyel denklemi  my” + ky = 0 dır.

Diferansiyel denklemler 2′ye ayrılır;

  1. Normal diferansiyel denklemler (adi diferansiyel denklemler)
  2. Kısmi diferansiyel denklemler

Normal diferansiyel denklemler; Tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Bu denklemlere Adi diferansiyel denklemler de denir.

Normal diferansiyel denklemler

şeklinde gösterilirler. Bu denklemde n denklemin derecesini göstermektedir. Normal diferansiyel denklemlerde kendi aralarında 2′ye ayrılmaktadır. Bunlar;

  • Tümdeş diferansiyel denklemler
  • Tümdeş olmayan diferansiyel denklemler

Kısmi diferansiyel denklemler; Birkaç değişkenli bir fonksiyon ile, bu fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri arasındaki ilişkiyi inceleyen denklem çeşididir.  bağımlı x ve y bağımsız değişkenler olmak üzere bir kısmi türevli denklem;

Kısmi diferansiyel denklemler

Burada;

Kısmi diferansiyel denklemler 1

dir.

Videolu Anlatım şeklinde Diferansiyel denklemler nedir?

Bu Konu Hakkında Soru Sormak ve Anında Yorum Yapmak İçin Buraya Tıklayın

Benzer Konular:


    Tarihte 3 Temmuz Dünyada Neler olmuş? Doğan ve Ölen Ünlüler Kimler?
    Dünya tarihinde 3 temmuz itibari ile oluşan olaylar nelerdir? 3 temmuz da doğan ünlüler, 3 temmuz da ölen ünlüler, 3 temmuz doğumlu ünlüler, Tarihte bugün 3 Temmuz da hangi olaylar oldu? İşte cevabı.... Dünya tarihi üzerinde 3 Temmuz tarihinde neler olup bittiği...
    Tarihte 2 Temmuz Dünyada Neler olmuş? Doğan ve Ölen Ünlüler Kimler?
    Dünya tarihinde 2 temmuz itibari ile oluşan olaylar nelerdir? 2 temmuz da doğan ünlüler, 2 temmuz da ölen ünlüler, 2 temmuz doğumlu ünlüler, Tarihte bugün 2 Temmuz da hangi olaylar oldu? İşte cevabı.... Dünya tarihi üzerinde 2 Temmuz tarihinde neler olup bittiğini...
    Tarihte 1 Temmuz Dünyada Neler olmuş? Doğan ve Ölen Ünlüler Kimler?
    Dünya tarihinde 1 temmuz itibari ile oluşan olaylar nelerdir? 1 temmuz da doğan ünlüler, 1 temmuz da ölen ünlüler, 1 temmuz doğumlu ünlüler, Tarihte bugün 1 Temmuz da hangi olaylar oldu? İşte cevabı.... Dünya tarihi üzerinde 1 Temmuz tarihinde neler olup bittiğini...
    Oruçluyken Tükürük veya Balgam Yutmak Orucu Bozar mı?
    Ramazan ayında niyetliyken tükürük yada balgam yutanların orucu bozulur mu?   Oruçluyken ağzıma balgam geliyor, yutuyorum, oruç bozuluyor mu?  Balgamı yutmakla oruç bozulmaz. Oruçluyken ağza gelen tükürüğü yutmak orucu bozar mı? Hayır, orucu...
Diferansiyel denklemler nedir? videolu konu anlatımı başlıklı yazı , , etiketleri ile sisteme eklenmiştir.
Diferansiyel denklemler nedir? videolu konu anlatımı yazısında telif haklarına ve yasalara aykırı bir bilgi veya link bulunuyorsa lütfen buradan iletişime geçiniz.

Yorum ekleyebilir yada yazı için geri bildirim gönderebilirsiniz..Bu yazı için yorumlarına abone ol: subscribe to these comments RSS.

NOT: Açık adres ve telefon numaraları yazılan yorumlar onaylanmamaktadır.

diferansiyel denklemler videolu konu anlatımı, Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı VİDEOLARI, diferansiyel denklemler nedir, riccati diferansiyel denklemler video